Lời giải của Tự Học 365

Gọi $A\left( {0;0;a} \right)\,\,\left( {a > 0} \right),$ vì $AB \bot \,\,mp\,\,\left( \alpha  \right)$$ \Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $\left( {AB} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = a - t\end{array} \right..$

Mà $B = AB \cap \left( \alpha  \right)$$ \Rightarrow \,\,B\left( {t;0;a - t} \right)$ và $B \in \,\,mp\,\,\left( \alpha  \right)$$ \Rightarrow $$t - \left( {a - t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{a + 3}}{2}.$

Khi đó $B\left( {\dfrac{{a + 3}}{2};0;\dfrac{{a - 3}}{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {1;1;1 - a} \right)\\\overrightarrow {BM}  = \left( { - \dfrac{{a + 1}}{2};1;\dfrac{{5 - a}}{2}} \right)\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}AM = BM \Leftrightarrow A{M^2} = B{M^2} \Leftrightarrow 2 + {\left( {1 - a} \right)^2} = 1 + \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - a} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 2 = \dfrac{{2{a^2} - 8a + 26}}{4}\\ \Leftrightarrow 2{a^2} = 18 \Leftrightarrow {a^2} = 9 \Leftrightarrow a = 3\,\,\left( {a > 0} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {1;1; - 2} \right)\\\overrightarrow {BM}  = \left( { - 2;1;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right] = \left( {3;3;3} \right)\end{array}$

Vậy diện tích tam giác $MAB$ là ${S_{\Delta \,MAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right]} \right| = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}.$

Đáp án cần chọn là: c