Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(A'\) là điểm trên \(SA\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A'S} \). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A'\) cắt các cạnh \(SB\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \(B'\), \(C'\), \(D'\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SD}}{{SD'}} - \dfrac{{SC}}{{SC'}}\).
Phương pháp giải
Tính các tỉ số $\dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SD}}{{SD'}},\dfrac{{SA}}{{SA'}} + \dfrac{{SC}}{{SC'}}$ bằng cách sử dụng tỉ lệ diện tích các tam giác.
Từ đó suy ra giá trị của biểu thức \(T\)
Lời giải của Tự Học 365
Gọi \(O\) là giao của \(AC\) và \(BD\). Ta có \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\), \(BD\).
Các đoạn thẳng \(SO\),\(A'C'\), \(B'D'\) đồng quy tại \(I\).
Ta có: \({S_{SA'I}} + {S_{SC'I}} = {S_{SA'C'}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{S_{SA'I}}}}{{{S_{SAC}}}} + \dfrac{{{S_{SC'I}}}}{{{S_{SAC}}}} = \dfrac{{{S_{SA'C'}}}}{{{S_{SAC}}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{S_{SA'I}}}}{{2{S_{SAO}}}} + \dfrac{{{S_{SC'I}}}}{{2{S_{SCO}}}} = \dfrac{{{S_{SA'C'}}}}{{{S_{SAC}}}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{SA'}}{{2SA}}.\dfrac{{SI}}{{SO}} + \dfrac{{SC'}}{{2SC}}.\dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{SI}}{{2SO}}\left( {\dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}} \right) = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{SA}}{{SA'}} + \dfrac{{SC}}{{SC'}} = 2.\dfrac{{SO}}{{SI}}\).
Tương tự: \(\dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SD}}{{SD'}} = 2.\dfrac{{SO}}{{SI}}\)
Suy ra:\(\dfrac{{SB}}{{SB'}} + \dfrac{{SD}}{{SD'}} - \dfrac{{SC}}{{SC'}} = \)\(\dfrac{{SA}}{{SA'}} = \dfrac{3}{2}\).
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
