Lời giải của Tự Học 365

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có $y' = \dfrac{4}{{{{\left( {2x + 2} \right)}^2}}}$.

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {m;\,\dfrac{{m - 1}}{{2m + 2}}} \right)$, $\left( {m e  - 1} \right)$ là: $y = \dfrac{4}{{{{\left( {2m + 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{m - 1}}{{2m + 2}}$.

Tiếp tuyến này cắt $Ox$ và $Oy$ lần lượt tại $A\left( { - \dfrac{1}{2}{m^2} + m + \dfrac{1}{2};\,0} \right)$ và $B\left( {0;\,\dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{2{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}} \right)$ với $m otin \left\{ {1 - \sqrt 2 ;\,1 + \sqrt 2 } \right\}$.

Trọng tâm tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng $y =  - x$$ \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}{m^2} + m + \dfrac{1}{2}} \right) =  - \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{2{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}} \right)$

$ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 1 = \dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 1 = 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 2 \\m = 1 - \sqrt 2 \\m = 2\\m = 0\end{array} \right.$.

So với điều kiện ta được $m = 2$ hoặc $m = 0$.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là $y = \dfrac{1}{9}x - \dfrac{1}{{18}}$; $y = x - \dfrac{1}{2}$.

Đáp án cần chọn là: c