Lời giải của Tự Học 365

Gọi $M\left( {{x_0};\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} } \right)$ là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có dạng là $y - \sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3}  = \dfrac{{{x_0} - 1}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }}\left( {x - {x_0}} \right)$$ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x_0} - 1}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }} \cdot x + \dfrac{{3 - {x_0}}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }}$.

Vì tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ đi qua điểm $A\left( {1;a} \right)$ nên ta có:

$a = \dfrac{{{x_0} - 1}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }} + \dfrac{{3 - {x_0}}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }} \Leftrightarrow a\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3}  = 2$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{a^2}\left( {x_0^2 - 2{x_0} + 3} \right) = 4\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{a^2}x_0^2 - 2a{x_0} + 3{a^2} - 4 = 0\left(  *  \right)\end{array} \right.$.

Vì qua $A$ kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến $\left( C \right)$ nên $\left(  *  \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' =  - 3{a^4} + 5{a^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' =  - 3{a^2} + 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\ - \dfrac{{\sqrt {15} }}{3} < a < \dfrac{{\sqrt {15} }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < a < \dfrac{{\sqrt {15} }}{3}$

Vì $a \in \mathbb{Z}$ nên $a = 1$.

Đáp án cần chọn là: a