Gọi $S$ là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng$y = 2$ mà qua mỗi điểm thuộc $S$ đều kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Tính tổng hoành độ $T$ của tất cả các điểm thuộc $S$.
Phương pháp giải
- Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {a;2} \right)\) và có hệ số góc \(k\)
- Từ điều kiện để đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho suy ra phương trình bậc hai ẩn \(k\).
- Tìm điều kiện để hai tiếp tuyến vuông góc hay tích hai nghiệm của phương trình trên bằng \( - 1\)
Lời giải của Tự Học 365
\(y = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} = x + 1 + \dfrac{1}{{x - 1}}\)
Gọi điểm \(A\left( {a;2} \right) \in \left( d \right):y = 2\). Đường thẳng đi qua \(A\) có dạng \(y = k\left( {x - a} \right) + 2\)
Điều kiện tiếp xúc: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} = k\left( {x - a} \right) + 2\\\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \)\({\left( {1 - a} \right)^2}{k^2} - 4k - 4 = 0\)
Để \(2\) tiếp tuyến vuông góc nhau \( \Rightarrow \) \(\dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}} = - 1\)
\( \Rightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}a = 3\,\,\,\,\,\,\,\\a = - 1\,\,\,\,\end{array} \right.\)
Vậy tổng hai hoành độ là \(2\).
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
