Lời giải của Tự Học 365

+ Ta có: ${\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \ge xy \Rightarrow {\left( {2xy} \right)^2} \ge xy$$\Rightarrow xy \ge \dfrac{1}{4}$. Đẳng thức xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.

+ Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 - y \ge 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) \ge 0$$\Leftrightarrow 1 - \left( {x + y} \right) + xy \ge 0$$\Leftrightarrow 1 - 3xy \ge 0$$\Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = 1\end{array} \right.$.

+ Suy ra $\dfrac{1}{4} \le xy \le \dfrac{1}{3}$.

+ Ta có: $A = {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy$$= 16{\left( {xy} \right)^2} - 3xy$.

+ Đặt $t = xy$, ta được hàm số $f\left( t \right) = 16{t^2} - 3t$. Đây là một parabol có hoành độ đỉnh là $\dfrac{3}{{32}}$ và hệ số $a = 16 > 0$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {\dfrac{3}{{32}}; + \infty } \right)$ và do đó đồng biến trên $\left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3}} \right]$.

Từ đó: $\min f\left( t \right)$$= f\left( {\dfrac{1}{4}} \right)$$= \dfrac{1}{4}$; $\max f\left( t \right)$$= f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$$= \dfrac{7}{9}$.

Đáp án cần chọn là: b