Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \(\,{x_2}\) thỏa mãn: \(\dfrac{{x_1^2 - 3{x_1} + m}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2 - 3{x_2} + m}}{{{x_1}}} \le 2\).
Phương pháp giải
- Biến đổi điều kiện bài cho làm xuất hiện \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\) rồi áp dụng Vi – et suy ra bất phương trình ẩn \(m\)
- Giải bất phương trình ẩn \(m\) và kết luận.
Lời giải của Tự Học 365
Phương trình có nghiệm khi $\Delta ' \ge 0$$ \Leftrightarrow 1 - m \ge 0$$ \Leftrightarrow m \le 1$ $\left( 1 \right)$.
Theo định lý Viète ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.$.
Mặt khác \({x_1}\), \(\,{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) nên $x_1^2 - 2{x_1} + m = 0$ và $x_2^2 - 2{x_2} + m = 0$.
Khi đó \(\dfrac{{x_1^2 - 3{x_1} + m}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2 - 3{x_2} + m}}{{{x_1}}} \le 2\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - {x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{ - {x_2}}}{{{x_1}}} \le 2$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} \ge - 2$$ \Leftrightarrow \dfrac{{4 - 2m}}{m} \ge - 2$$ \Leftrightarrow \dfrac{4}{m} \ge 0$$ \Leftrightarrow m > 0$.
Kiểm tra điều kiện $\left( 1 \right)$, ta được \(0 < m \le 1\)
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
