Lời giải của Tự Học 365

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_n} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)$, $n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}$.

Ta có:

${u_2} = 1 - \dfrac{1}{{{2^2}}} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 1}}{{2.2}}$;

${u_3} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right) = \dfrac{3}{4}.\dfrac{8}{9} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{{3 + 1}}{{2.3}}$;

${u_4} = \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{4^2}}}} \right) = \dfrac{3}{4}.\dfrac{8}{9}.\dfrac{{15}}{{16}} = \dfrac{5}{8} = \dfrac{{4 + 1}}{{2.4}}$

$\cdots  \cdots$

${u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}$.

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định ${u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}},\,\forall n \ge 2$

Khi đó $\lim \left[ {\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \dfrac{1}{2}$.

Đáp án cần chọn là: b