Gọi $S$ là tập hợp tất các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $\left( d \right):\,y = mx$ cắt parabol $\left( P \right):y = - {x^2} + 2x + 3$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ thuộc đường thẳng $\left( \Delta \right):\,y = x - 3$. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$.
Phương pháp giải
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, sử dụng Vi – et suy ra mối quan hệ giữa các \({x_1},{x_2}\)
- Từ đó suy ra tọa độ trung điểm của \(AB\) theo \(m\), thay tọa độ này vào phương trình đường thẳng tìm \(m\)
Lời giải của Tự Học 365
Phương trình hoành độ giao điểm: $ - {x^2} + 2x + 3 = mx \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x - 3 = 0\,\,\left( 1 \right)$
Dễ thấy \(\left( 1 \right)\) luôn có \(2\) nghiệm phân biệt vì \(ac = 1.\left( { - 3} \right) = - 3 < 0\)
Khi đó \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,m{x_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};\,m{x_2}} \right)\), với \({x_1}\), \({x_2}\) là nghiệm phương trình \(\left( 1 \right)\). Theo Viét, có: \({x_1} + {x_2} = 2 - m\), \({x_1}{x_2} = - 3\)
\(I\) là trung điểm \(AB \Rightarrow I = \left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\dfrac{{m{x_1} + m{x_2}}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{{2 - m}}{2};\,\dfrac{{ - {m^2} + 2m}}{2}} \right)\)
Mà \(I \in \left( \Delta \right):\,y = x - 3 \) \(\Rightarrow \dfrac{{ - {m^2} + 2m}}{2} = \dfrac{{2 - m}}{2} - 3 \) \(\Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1 = {m_1}\\m = 4 = {m_2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {m_1} + {m_2} = 3\).
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
