Lời giải của Tự Học 365

Ta có \(S = \int\limits_{ - 2}^m {\left| {4 - {x^2}} \right|{\rm{d}}x}  = \dfrac{{25}}{3}\).

Phương trình \(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2\).

Bài ra \( - 2 < m < 2\) nên trên \(\left( { - 2;m} \right)\) thì \(4 - {x^2} = 0\) vô nghiệm.

$\int\limits_{ - 2}^m {\left| {4 - {x^2}} \right|{\rm{d}}x}  = \dfrac{{25}}{3} \Leftrightarrow \left| {\int\limits_{ - 2}^m {\left( {4 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} } \right| = \dfrac{{25}}{3} \Leftrightarrow \left| {\left( {4x - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^m\\_{ - 2}\end{array} \right.} \right| = \dfrac{{25}}{3}$\( \Leftrightarrow \left| {\left( {4m - \dfrac{{{m^3}}}{3}} \right) - \left( { - 8 + \dfrac{8}{3}} \right)} \right| = \dfrac{{25}}{3} \Leftrightarrow \left| {4m - \dfrac{{{m^3}}}{3} + \dfrac{{16}}{3}} \right| = \dfrac{{25}}{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4m - \dfrac{{{m^3}}}{3} + \dfrac{{16}}{3} = \dfrac{{25}}{3}\\4m - \dfrac{{{m^3}}}{3} + \dfrac{{16}}{3} =  - \dfrac{{25}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}{m^3} - 4m + 3 = 0\\\dfrac{1}{3}{m^3} - 4m - \dfrac{{41}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^3} - 12m + 9 = 0\\{m^3} - 12m - 41 = 0\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( m \right) = {m^3} - 12m\), với \(m \in \left( { - 2;2} \right)\) có

\(f'\left( m \right) = 3{m^2} - 12 = 3\left( {{m^2} - 4} \right) < 0\), \(\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\).

Do đó \(f\left( m \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 2;2} \right) \Rightarrow f\left( m \right) < f\left( { - 2} \right) = 16 \Rightarrow {m^3} - 12m - 41 < 0\).

Khi đó \(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow {m^3} - 12m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {{m^2} + 3m - 3} \right) = 0 \Rightarrow m = \dfrac{{\sqrt {21}  - 3}}{2}\) thỏa mãn.

Vậy chỉ có \(m = \dfrac{{\sqrt {21}  - 3}}{2}\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: d