Lời giải của Tự Học 365

Ta có ${3^x} + {a^x} \ge {6^x} + {9^x} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {3^x} + {a^x} - {6^x} - {9^x} \ge 0;\,\,\forall x \in \mathbb{R}.$

Xét $f\left( x \right) = {3^x} + {a^x} - {6^x} - {9^x}$ trên $\mathbb{R},$ có:

$f'\left( x \right) = {3^x}.\ln 3 + {a^x}.\ln a - {6^x}.\ln 6 - {9^x}.\ln 9;$ \(f''\left( x \right) = {3^x}{\ln ^2}3 + {a^x}{\ln ^2}a - {6^x}{\ln ^2}6 - {9^x}{\ln ^2}9\)

Dễ thấy \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right),\forall x \in R\)

Điều này cũng có nghĩa \(x = 0\) là điểm cực tiểu của hàm số.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f''\left( 0 \right) > 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}\ln a = \ln \dfrac{{6\,\, \times \,\,9}}{3}\\{\ln ^2}3 + {\ln ^2}a - {\ln ^2}6 - {\ln ^2}9 > 0\end{array} \right.\,$ $ \Leftrightarrow a = 18$

Đáp án cần chọn là: b