Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4...;100} \right\}$. Gọi $S$ là tập hợp gồm tất cả các tập con của \(A\), mỗi tập con này gồm 3 phần tử của \(A\) và có tổng bằng \(91.\) Chọn ngẫu nhiên một phần tử của $S.$ Xác suất chọn được phần tử có $3$ số lập thành cấp số nhân bằng?
Phương pháp giải
- Sử dụng công thức tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình là để tìm số phần tử của không gian mẫu.
- Đếm số phần tử của \(S\) thỏa mãn yêu cầu bài toán, từ đó suy ra xác suất cần tính.
Lời giải của Tự Học 365
Giả sử tập con bất kì \(\left\{ {a,b,c} \right\} \in S\)$ \Rightarrow 1 \le a,b,c \le 100$ ;\(a,b,c\)phân biệt.
$a + b + c = 91.$
Số bộ \(a,b,c\) là \(C_{91 - 1}^{3 - 1}\)
Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 số giống nhau, số bộ có 2 số giống nhau là \(3.45 = 135\) (bộ).
Vậy \(n\left( \Omega \right) = \left( {C_{90}^2 - 3.45} \right):3! = 645\).
Gọi $A$ là biến cố: ”$a,b,c$lập thành cấp số nhân”
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có \(q > 0\)
\(a + aq + a{q^2} = 91\)\( \Leftrightarrow a\left( {1 + q + {q^2}} \right) =91 \)
\( \Leftrightarrow {q^2} + q + 1 - \dfrac{{91}}{a} = 0\)
Thử \(a = 1,2,..,91\) và bấm máy tính tìm \(q\) ta được các trường hợp sau:
+) \(a = 1,q = 9\) nên bộ ba số là \(1;9;81\).
+) \(a = 7,q = 3\) nên bộ ba số là \(7;21;63\).
+) \(a = 13,q = 2\) nên bộ ba số là \(13;26;52\).
+) \(a = 25,q = \dfrac{6}{5}\) nên bộ ba số là \(25;30;36\).
Vậy có bốn bộ số thỏa mãn.
\(P\left( A \right) = \dfrac{4}{{645}}\).
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
