Trong không gian cho \(2n\) điểm phân biệt (\(n > 4\), \(n \in \mathbb{N}\)), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong \(2n\) điểm đó, có đúng \(n\) điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có \(4\) điểm nào ngoài \(4\) điểm trong \(n\) điểm này đồng phẳng. Tìm \(n\) sao cho từ \(2n\) điểm đã cho tạo ra đúng \(201\) mặt phẳng phân biệt.
Phương pháp giải
- Tính số mặt phẳng có được từ \(2n\) điểm đã cho theo \(n\)
- Giải phương trình ẩn \(n\) rồi kết luận.
Lời giải của Tự Học 365
Số cách chọn \(3\) điểm trong \(2n\) điểm phân biệt đã cho là \(C_{2n}^3\).
Số cách chọn \(3\) điểm trong \(n\) điểm cùng nằm trên một mặt phẳng là \(C_n^3\).
Số mặt phẳng được tạo ra từ \(2n\) điểm đã cho là $C_{2n}^3 - C_n^3 + 1$.
Như vậy: $C_{2n}^3 - C_n^3 + 1 = 201$\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2n} \right)!}}{{3!\left( {2n - 3} \right)!}} - \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + 1 = 201\)
$ \Leftrightarrow \dfrac{{2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)}}{6} - \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 200$$ \Leftrightarrow 2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right) - n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 1200$
\( \Leftrightarrow 7{n^3} - 9{n^2} + 2n - 1200 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 6} \right)\left( {7{n^2} + 33n + 200} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow n = 6\)
Vậy \(n = 6\).
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
