Lời giải của Tự Học 365

Vì điểm \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) nên ta có: \({\left( {a - m} \right)^3} - 3a + {m^2} = b,\forall m \in \mathbb{R}\). \(\left( 1 \right)\)

Xét \(y' = 3{\left( {x - m} \right)^2} - 3\); \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m - 1\\x = m + 1\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Nếu \({m_1}\) là giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số nhận điểm $M\left( {a;\,\,b} \right)$ là điểm cực đại thì \(a = {m_1} - 1\). Nếu \({m_2}\) là giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số nhận điểm $M\left( {a;\,\,b} \right)$ là điểm cực tiểu thì \(a = {m_2} + 1\)

Do đó $m_1=a+1,m_2=a-1$

Mà \({m_1}\), \({m_2}\) phải thỏa mãn \(\left( 1 \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 3a + {\left( {a + 1} \right)^2} = b\\1 - 3a + {\left( {a - 1} \right)^2} = b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b =  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)

Vậy \(S = 2018a + 2020b = 504\)

Đáp án cần chọn là: a