Lời giải của Tự Học 365

Đặt \(\sin x = t,x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} - mt - 4\) trên $[0;1]$

Ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t - m\)

Để hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) cần:

\(f'\left( t \right) \ge 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t - m \ge 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t \ge m,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = 3{t^2} + 6t\) trên $\left[ {0;1} \right]$

\(\begin{array}{l}g'\left( t \right) = 6t + 6\\g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 otin [0;1] \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với \(m \le 0\) thì $g(t)\ge 0\ge m, \forall t\in [0;1]$, suy ra $f'(t)\ge 0,\forall t\in [0;1]$ hay $f(t)$ đồng biến trên $[0;1]$.

Vậy với $m\le 0$ thì hàm số đã cho đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\).

Đáp án cần chọn là: b