Lời giải của Tự Học 365

Ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\)

\(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + {\sin ^2}x = {\sin ^2}x\left( {\sin x + 1} \right) \ge 0\\{\sin ^3}x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}x\left( {\sin x - 1} \right) \le 0\end{array}\)

Do đó \( - {\sin ^2}x \le {\sin ^3}x \le {\sin ^2}x\)

Tương tự \( - {\cos ^2}x \le {\cos ^3}x \le {\cos ^2}x\)

\( \Rightarrow  - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x \le y \le 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l} - 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x =  - 1 - {\sin ^2}x \ge  - 1 - 1 =  - 2\\2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 + {\sin ^2}x \le 1 + 1 = 2\end{array} \right.\)  nên \( - 2 \le y \le 2\)

Vậy \(M = 2\) đạt được khi \(\sin x = 1,\cos x = 0\)

 \(m =  - 2\) đạt được khi \(\sin x =  - 1,\cos x = 0\)

Do đó \({M^2} + {m^2} = 8\)

Đáp án cần chọn là: d