Lời giải của Tự Học 365

TXĐ: \(\mathbb{R}\).

Đặt \(P = \sqrt {1 + \sin x}  + \sqrt {1 + \cos x} \), $P \ge 0$. Suy ra

\({P^2} = 2 + \sin x + \cos x + 2\sqrt {1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x} \).

Đặt \(t = \sin x + \cos x\)\( = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 \,;\,\sqrt 2 } \right]\).

Khi đó \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)\( \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Do đó \({P^2} = 2 + t + 2\sqrt {1 + t + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \)\( = 2 + t + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right|\).

TH1: \( - \sqrt 2  \le t \le  - 1\) thì \({P^2} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2 \). Khi đó \(1 \le {P^2} \le 4 - 2\sqrt 2 \).

TH2: \( - 1 \le t \le \sqrt 2 \) thì \({P^2} = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2 \). Khi đó $1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 $.

Do đó \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \) mà \(P \ge 0\) nên \(1 \le P \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).

Phương trình có nghiệm khi \(1 \le m \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).

Đáp án cần chọn là: b