Lời giải của Tự Học 365

Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}\) với \(x \in \left[ {0;1} \right],\) có \(f'\left( x \right) = x - 1 + {e^{ - \,x}} \Rightarrow f''\left( x \right) = 1 - {e^{ - \,x}} \ge 0;\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)

\( \Rightarrow \) \(f'\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) \ge f'\left( 0 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)

\( \Rightarrow \) \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)

Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{6} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + {e^{ - \,x}}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{3}\)

Mặt khác \(I = a.{e^{ - \,1}} + b = {e^{ - \,1}} - \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - \frac{1}{3}\end{array} \right..\)

Vậy \(2a + 3b = 1.\)

Đáp án cần chọn là: d