Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{2{{x}^{2}}+3x+3}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=a-\ln b\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.\)
Phương pháp giải
Tách hạng tử, rút gọn đưa về các nguyên hàm cơ bản để tính tích phân
Lời giải của Tự Học 365
Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{2{{x}^{2}}+3x+3}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)-\left( x+1 \right)+2}{{{x}^{2}}+2x+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2-\frac{1}{x+1}+\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)\,\text{d}x}\)
\(\, = \left. {\left( {2x - \ln \left| {x + 1} \right| - \frac{2}{{x + 1}}} \right)} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array} = \left( {2 - \ln 2 - 1} \right) + 2 = 3 - \ln 2 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 2
\end{array} \right..\)
Vậy \(P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=13.\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
