Biết \(\int\limits_2^{e + 1} {\dfrac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx = a + b{e^{ - 1}}} \) với \(a,b \in \mathbb{Z}.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) = u\\\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx = dv\end{array} \right.\)
Lời giải của Tự Học 365
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) = u\\\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 1}}dx = du\\ - \dfrac{1}{{x - 1}} = v\end{array} \right.\)
Ta có \(\int\limits_2^{e + 1} {\dfrac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx = \ln \left( {x - 1} \right).\left. {\left( { - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)} \right|} _2^{e + 1} + \int\limits_2^{e + 1} {\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx} \)
\( = - \dfrac{1}{e} - \left. {\dfrac{1}{{x - 1}}} \right|_2^{e + 1} = - \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{e} + 1 = 1 - 2.{e^{ - 1}}\)
Suy ra \(a = 1;\,\,\,b = - 2 \Rightarrow a + b = - 1.\)
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
