Biết rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x\), trong đó a, b, c là các hằng số. Giá trị của tổng \(S = a + b\) thỏa mãn:
Phương pháp giải
Đối với bài toán này ta có thể tính đạo hàm rồi đồng nhất hệ số tìm \(a,b,c\).
Lời giải của Tự Học 365
Đặt $F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c$.
Ta có
$F'\left( x \right) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x$ $ = \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + \left( {2b - 3a} \right){e^{2x}}\sin 3x$
Để $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x$, điều kiện là
$F'\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 1\\2b - 3a = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{{13}}\\b = \dfrac{3}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \dfrac{5}{{13}}$
Do đó \(\dfrac{1}{3} < S < \dfrac{1}{2}\).
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
