Cho $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {g\left( x \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }\,{\rm{d}}x} .$
Phương pháp giải
Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) thì ta đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).
Và sử dụng công thức \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b\).
Lời giải của Tự Học 365
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\{\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = g'\left( x \right){\rm{d}}x\\v = f\left( x \right)\end{array} \right..$
Khi đó $\int\limits_0^1 {g\left( x \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\left[ {g\left( x \right).f\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {g'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} \Leftrightarrow \left. {\left[ {g\left( x \right).f\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 = 3.$
Mặt khác $I = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }\,{\rm{d}}x} = \left. {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} \right|_0^1\,\, \Rightarrow \,\,I = 3.$
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
