Cho \(\int\limits_{0}^{3}{{{e}^{\sqrt{x\,+\,1}}}.\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}}}=a.{{e}^{2}}+b.e+c,\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Tính \(S=a+b+c.\)
Phương pháp giải
Đặt ẩn phụ, đưa về phương pháp đổi biến số tính tích phân
Lời giải của Tự Học 365
Đặt \(t={{e}^{\sqrt{x\,+\,1}}}\Leftrightarrow2\,\text{d}t=\frac{{{e}^{\sqrt{x\,+\,1}}}}{\sqrt{x+1}}\text{d}x\) và đổi cận \(\left\{ \begin{align} x=0\,\,\Rightarrow \,\,t=e \\ x=3\,\,\Rightarrow \,\,t={{e}^{2}} \\\end{align} \right..\)
Khi đó \(\int\limits_{0}^{3}{{{e}^{\sqrt{x\,+\,1}}}.\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}}}=2\,\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\text{d}t}=\left. 2t \right|_{e}^{{{e}^{2}}}=2{{e}^{2}}-2e=a.{{e}^{2}}+b.e+c\Rightarrow \left\{ \begin{align} a=2 \\ b=-\,2 \\ c=0 \\ \end{align} \right..\)
Vậy \(S=0.\)
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
