Tìm \(f\left( 4 \right)\) biết rằng \(\int\limits_{0}^{f\left( x \right)}{{{t}^{2}}\,\text{d}t}=x.\cos \pi x.\)
Phương pháp giải
Yêu cầu nắm vững lí thuyết của nguyên hàm, từ đó đạo hàm hai vế của đẳng thức tìm ra được hàm số f(x).
Lời giải của Tự Học 365
Gọi \(G\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( t \right)={{t}^{2}}\,\,\Rightarrow \,\,G\left( t \right)=\frac{{{t}^{3}}}{3}.\)
Ta có \(\int\limits_{0}^{f\left( x \right)}{{{t}^{2}}\,\text{d}t}=x.\cos \pi x\Leftrightarrow \left. \frac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{f\left( x \right)}\Leftrightarrow \frac{{{f}^{3}}\left( x \right)}{3}=x\cos \pi x\)
\(\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)=3x\cos \pi x\Leftrightarrow f\left( x \right)=\sqrt[3]{3x\cos \pi x}. \ \ \left( * \right)\)
Thay \(x=4\) vào đẳng thức \(\left( * \right),\) ta được \(f\left( 4 \right)=\sqrt[3]{3.4.\cos 4\pi }=\sqrt[3]{12}.\)
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
