Lời giải của Tự Học 365

Gọi I là trung điểm $BC \Rightarrow AI \bot BC.$ Kẻ $AK \bot SI$ $\left( {K \in SI} \right)$

\(\Delta SAB = \Delta SAC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SC \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại S \( \Rightarrow SI \bot BC\)

Từ $K$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $SB,{\rm{ }}SC$ lần lượt tạị $M,{\rm{ }}N$.

\( \Rightarrow MN \bot SI\). Khi đó thiết diện là tam giác $AMN.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AK \Rightarrow MN \bot AK.$

Tam giác vuông $SAI$, có $AK = \dfrac{{SA.AI}}{{\sqrt {S{A^2} + A{I^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Tam giác $SBC$, có

$\dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{SK}}{{SI}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{I^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{I^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{7} \Rightarrow MN = \dfrac{{4a}}{7}.$

Vậy ${S_{\Delta AMN}} = \dfrac{1}{2}AK.MN = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\dfrac{{4a}}{7} = \dfrac{{2{a^2}\sqrt {21} }}{{49}}.$

Đáp án cần chọn là: a