Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,$ $BC = 2a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $S$ vuông góc với $AB.$ Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.
Phương pháp giải
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
Lời giải của Tự Học 365
Gọi H là trung điểm $AB \Rightarrow SH \bot AB.$ Suy ra:
\( \bullet \) $SH \subset \left( \alpha \right)$.
\( \bullet \) $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ (do $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ theo giao tuyến $AB$).
Kẻ $HM \bot AB{\rm{ }}\left( {M \in CD} \right) \Rightarrow HM \subset \left( \alpha \right).$
Do đó thiết diện là tam giác SHM vuông tại H.
Ta có $SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$, $HM = BC = 2a.$ Vậy ${S_{\Delta SHM}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.2a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
