Một học sinh giải bài toán “Rút gọn biểu thức \({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k\) với $k \le n;{\rm{ }}n > 1.$” Như sau:
Bước 1: Ta áp dụng công thức \(C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} = C_n^{k + 1}\).
\({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k\).
$ = C_n^0 - \left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1} \right) + \left( {C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2} \right) - \left( {C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^3} \right) + ... + {\left( { - 1} \right)^k}\left( {C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k} \right)$
Bước 2: Mở dấu ngoặc ta có:
${S_k} = C_n^0 - C_{n - 1}^0 - C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^3 + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^{k - 1} + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k.$
Bước 3: Vậy với mọi \(k\) thì \({S_k} = {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k\).
Kết luận nào sau đây là đúng:
Phương pháp giải
Nhận xét tính đúng sai của từng bước giải và kết luận đáp án đúng.
Lời giải của Tự Học 365
Ta thấy lời giải trên sai khi đã không xét hai trường hợp \(k < n\); hoặc \(k = n\).
Vì nếu \(k = n\) thì không tồn tại \(C_{n - 1}^k\).
Rất nhiều học sinh mắc sai lầm khi giải như trên, hoặc sai lầm khi giải như sau:
\({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k = {\left( {1 - 1} \right)^n} = 0\).
Ta có lời giải đúng như sau:
TH1: Với \(k < n\), ta áp dụng công thức \(C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} = C_n^{k + 1}\), ta có:
\({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k = {\left( {1 - 1} \right)^n} = 0\).
$ = C_n^0 - \left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1} \right) + \left( {C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2} \right) - \left( {C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^3} \right) + ... + {\left( { - 1} \right)^k}\left( {C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k} \right)$.
$ = C_n^0 - C_{n - 1}^0 - C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^2 - C_{n - 1}^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^{k - 1} + {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k.$
Vậy \({S_k} = {\left( { - 1} \right)^k}C_{n - 1}^k\) khi \(k < n\).
TH2: Với \(k = n\), thì \({S_k} = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3... + {\left( { - 1} \right)^k}C_n^k = {\left( {1 - 1} \right)^n} = 0\).
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
