Cho $F\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{3x}}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right){e^{3x}}$.
Phương pháp giải
+) $\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = F'\left( x \right)$
+) Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần: $\int {udv} = uv - \int {vdu} $
Lời giải của Tự Học 365
$I = \int {f'\left( x \right){e^{3x}}} dx$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {e^{3x}}}\\{dv = f'\left( x \right)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = 3{e^{3x}}dx}\\{v = f\left( x \right)}\end{array}} \right. $ $\Rightarrow I = f\left( x \right){e^{3x}} - 3\int {f\left( x \right){e^{3x}}dx} = f\left( x \right){e^{3x}} - 3\left( {x + 1} \right){e^x} + C$
Ta có $\int {f\left( x \right){e^{3x}}dx} = \left( {x + 1} \right){e^x} \Rightarrow f\left( x \right){e^{3x}}dx = {\left[ {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right]^\prime } = {e^x} + \left( {x + 1} \right){e^x} = \left( {x + 2} \right){e^x}$
Vậy $I = \left( {x + 2} \right){e^x} - 3\left( {x + 1} \right){e^x} + C = \left( { - 2x - 1} \right){e^x} + C.$
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
