Lời giải của Tự Học 365

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \cos t\,{\rm{d}}t$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t.$

Khi đó $I = \int {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x}  = \int {{{\sin }^2}t.\sqrt {{{\cos }^2}t} .\cos t\,{\rm{d}}t}  = \int {{{\sin }^2}t.{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} .$

Mặt khác $\sin t.\cos t = \dfrac{1}{2}\sin 2t$ $\Leftrightarrow {\sin ^2}t.{\cos ^2}t = \dfrac{1}{4}{\sin ^2}2t = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{1 - \cos 4t}}{2}$ $= \dfrac{{1 - \cos 4t}}{8}.$

Vậy $I = \dfrac{1}{8}\int {\left( {1 - \cos 4t} \right)\,{\rm{d}}t}$ $= \dfrac{t}{8} - \dfrac{{\sin 4t}}{{32}} + C$ $= \dfrac{t}{a} - \dfrac{{\sin 4t}}{b} + C$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 32\end{array} \right. \Rightarrow S = 40.$

Đáp án cần chọn là: d