Nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $\int {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} $ có dạng $\dfrac{t}{a} - \dfrac{{\sin 4t}}{b} + C$ với $a,\,\,b \in Z$. Tính tổng \(S=a+b\).
Phương pháp giải
- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right) = \sin t\).
- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C\)
Lời giải của Tự Học 365
Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \cos t\,{\rm{d}}t$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t.$
Khi đó $I = \int {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} = \int {{{\sin }^2}t.\sqrt {{{\cos }^2}t} .\cos t\,{\rm{d}}t} = \int {{{\sin }^2}t.{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} .$
Mặt khác $\sin t.\cos t = \dfrac{1}{2}\sin 2t$ $\Leftrightarrow {\sin ^2}t.{\cos ^2}t = \dfrac{1}{4}{\sin ^2}2t = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{1 - \cos 4t}}{2}$ $ = \dfrac{{1 - \cos 4t}}{8}.$
Vậy $I = \dfrac{1}{8}\int {\left( {1 - \cos 4t} \right)\,{\rm{d}}t}$ $ = \dfrac{t}{8} - \dfrac{{\sin 4t}}{{32}} + C $ $= \dfrac{t}{a} - \dfrac{{\sin 4t}}{b} + C $
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 32\end{array} \right. \Rightarrow S = 40.$
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
