Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} ,$ nếu đặt $x = 2\sin t - 1,$ với $0\le t \le \dfrac{\pi }{2}$ thì $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} $ bằng:
Phương pháp giải
- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right) = 2\sin t - 1\).
- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C\)
Lời giải của Tự Học 365
Ta có $f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} = \sqrt {4 - \left( {1 + 2x + {x^2}} \right)} = \sqrt {4 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}} .$
Đặt $x + 1 = 2\sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = 2\cos t\,{\rm{d}}t$ và $4 - {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 - 4{\sin ^2}t = 4{\cos ^2}t$
Do $0\le t \le \dfrac{\pi }{2}$ nên $\cos t \ge 0$.
Khi đó $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \int {\sqrt {4{{\cos }^2}t} .2\cos t\,\,{\rm{d}}t} = 4\int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = 2\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} $.
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
