Cho \(I = \int {\dfrac{{{{\ln }^2}x}}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx = } \dfrac{2}{{15}}\left( {b{t^5} + c{t^3} + d.t} \right) + C\), biết \(t = \sqrt {\ln x + 1} \) . Giá trị biểu thức \(A = \dfrac{2}{{15}}bcd\) là:
Phương pháp giải
- Đặt \(t = \sqrt {\ln x + 1} \)
- Tính \(dx\) theo \(dt\) và tìm nguyên hàm.
Lời giải của Tự Học 365
Đặt \(t = \sqrt {\ln x + 1} \) \( \Rightarrow {t^2} = \ln x + 1 \Rightarrow 2tdt = \dfrac{1}{x}dx\) và \(\ln x = {t^2} - 1\)
\(I = \int {\dfrac{{{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}}}{t}.2tdt} \)\( = \int {2\left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt} \) \( = 2\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} - \dfrac{{2{t^3}}}{3} + t} \right) + C\) \( = \dfrac{2}{{15}}\left( {3{t^5} - 10{t^3} + 15t} \right) + C\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\c = - 10\\d = 15\end{array} \right.\)
Vậy \(A = \dfrac{2}{{15}}.3.\left( { - 10} \right).15 = - 60\)
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
