Lời giải của Tự Học 365

$F\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx}$

Đặt $\sqrt {1 + x}  = t \Rightarrow 1 + x = {t^2} \Rightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow dx = 2tdt$

$\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\dfrac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}.2tdt = 2\int {t\left( {t - 1} \right)dt = 2\int {\left( {{t^2} - t} \right)} } } dt \\ = \dfrac{2}{3}{t^3} - {t^2} + C = \dfrac{2}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x}  - \left( {1 + x} \right) + C\\ \Rightarrow F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}\left( {1 + 3} \right)\sqrt {1 + 3}  - \left( {1 + 3} \right) - \dfrac{2}{3}\left( {1 + 0} \right)\sqrt {1 + 0}  + \left( {1 + 0} \right) = \dfrac{5}{3}\\ \Rightarrow a = 5,b = 3 \Rightarrow a + b = 8\end{array}$

Đáp án cần chọn là: c