Lời giải của Tự Học 365

Ta có: \(\int {\sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\sin x{{\cos }^5}xdx}  = \int {\sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}.{{\cos }^3}x.\sin x.{{\cos }^2}xdx} \)

Đặt \(t = \sqrt[6]{{1 - {{\cos }^3}x}}\) \( \Rightarrow {t^6} = 1 - {\cos ^3}x\) \( \Rightarrow 6{t^5}dt = 3\sin x{\cos ^2}xdx\) và \({\cos ^3}x = 1 - {t^6}\).

$\int {t.(1 - {t^6}).2{t^5}.dt}  = \int {(2{t^6} - 2{t^{12}}).dt}  = \dfrac{{2{t^7}}}{7} - {\dfrac{{2t}}{{13}}^{13}} + C = 2\left( {\dfrac{{{t^7}}}{7} - \dfrac{{{t^{13}}}}{{13}}} \right) + C$

\( \Rightarrow \alpha  = 7;\beta  = 13 \Rightarrow \dfrac{\alpha }{\beta } = \dfrac{7}{{13}}\)

Đáp án cần chọn là: c