Cho \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx} \) , biết\(F\left( e \right) = 3\) , tìm \(F\left( x \right) = ?\)
Phương pháp giải
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right) = \sqrt {1 - \ln x} \)
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\)
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\)
- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)
Lời giải của Tự Học 365
\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx} \)
Đặt \(\sqrt {1 - \ln x} = t \Rightarrow 1 - \ln x = {t^2} \Rightarrow \ln x = 1 - {t^2} \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx = - 2tdt\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\dfrac{{1 - {t^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) = - 2\int {\left( {1 - {t^2}} \right)} } dt \)
$= - 2t + \dfrac{2}{3}{t^3} + C = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + C$
\(\begin{array}{l}F\left( e \right) = - 2\sqrt {1 - 1} +\dfrac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)\sqrt {1 - 1} + C = 3 \Rightarrow C = 3\\ \Rightarrow F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
