Lời giải của Tự Học 365

Ta có $f'\left( x \right) = \dfrac{{x.f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$$\Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x}  = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x}$

$\Leftrightarrow \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}}  = \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}  = \sqrt {{x^2} + 1}  + C$$\Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1}  + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2}{\kern 1pt}  + {\kern 1pt} 1} {\kern 1pt}  + {\kern 1pt} {\kern 1pt} C}}$

Mà $f\left( 0 \right) = e$$\Rightarrow$${e^{C{\kern 1pt}  + {\kern 1pt} 1}} = e \Rightarrow C = 0.$

Vậy $f\left( {\sqrt 3 } \right) = {e^2}.$

Đáp án cần chọn là: b