Cho hàm số y=f(x)liên tục trên đoạn [0;π]∖{π2} thỏa mãn f′(x)=tanx,∀x∈(−π4;3π4)∖{π2}, f(0)=0,f(π)=1. Tỉ số giữa f(2π3) và f(π4) bằng
Phương pháp giải
Tìm f(x) bằng cách tìm nguyên hàm của hàm số y=tanx và các điều kiện bài cho.
Lời giải của Tự Học 365
Ta có: ∫tanxdx=∫sinxdxcosx=−∫d(cosx)cosx=−ln|cosx|+C
f′(x)=tanx,∀x∈(−π4;3π4)∖{π2} ⇒{f(x)=−ln(cosx)+C1,x∈(−π4;π2)f(x)=−ln(−cosx)+C2,x∈(π2;3π4)
Mà f(0)=0,f(π)=1⇒{−ln1+C1=0−ln1+C2=1⇔{C1=0C2=1
⇒{f(x)=−ln(cosx),x∈(−π4;π2)f(x)=−ln(−cosx)+1,x∈(π2;3π4)
⇒{f(2π3)=−ln(−cos2π3)+1=ln2+1f(π4)=−ln(cosπ4)=12ln2⇒f(2π3)f(π4)=2(ln2+1)ln2=2(1+log2e)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12