Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\)
\(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
Phương pháp giải
- Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\).
- Tìm các giá trị \(\alpha ,\beta \) và suy ra đáp án.
Lời giải của Tự Học 365
$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha = - \dfrac{\pi }{{12}}\\\beta = \dfrac{{5\pi }}{{12}}\end{array} \right. \Rightarrow \alpha .\beta = \dfrac{{ - 5{\pi ^2}}}{{144}}\end{array}$
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
