Nếu biết $3{\sin ^4}x + 2{\cos ^4}x = \dfrac{{98}}{{81}}$ thì giá trị biểu thức $A = 2{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x$ bằng
Phương pháp giải
- Tính \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x\) và \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) theo \(A\).
- Hạ bậc các biểu thức \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x\) và \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) đưa về \(\sin 2x,\cos 2x\).
- Lahap phương trình ẩn \(A\) và giải phương trình tìm \(A\).
Lời giải của Tự Học 365
Ta có \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \dfrac{{98}}{{81}} - A\)\( \Leftrightarrow \cos 2x = A - \dfrac{{98}}{{81}}\)
\(5\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) = \dfrac{{98}}{{81}} + A\)\( \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x = \dfrac{1}{5}\left( {\dfrac{{98}}{{81}} + A} \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x = \dfrac{1}{5}\left( {\dfrac{{98}}{{81}} + A} \right)\)
\( \Leftrightarrow 1 + {\left( {A - \dfrac{{98}}{{81}}} \right)^2} = \dfrac{2}{5}\left( {A + \dfrac{{98}}{{81}}} \right) = \dfrac{2}{5}\left( {A - \dfrac{{98}}{{81}}} \right) + \dfrac{{392}}{{405}}\)
Đặt \(A - \dfrac{{98}}{{81}} = t\)\( \Rightarrow {t^2} - \dfrac{2}{5}t + \dfrac{{13}}{{405}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{13}}{{45}}\\t = \dfrac{1}{9}\end{array} \right.\)
+) \(t = \dfrac{{13}}{{45}} \Rightarrow A = \dfrac{{607}}{{405}}\)
+) \(t = \dfrac{1}{9} \Rightarrow A = \dfrac{{107}}{{81}}.\)
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
