Cho hàm số \(y=\dfrac{4x-3}{x-3}\) có đồ thị \(C\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có hai điểm phân biệt M, N và khoảng cách từ M hoặc N đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó MN có giá trị bằng:
Phương pháp giải
Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), tính khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận và sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của biểu thức đó từ đó suy ra tọa độ các điểm M, N.
Tính độ dài MN.
Lời giải của Tự Học 365
TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Đồ thị hàm số có đường TCN \(y=4\,\,\left( {{d}_{1}} \right)\) và TCĐ \(x=3\,\,\left( {{d}_{2}} \right)\).
Gọi điểm \(M\in \left( C \right)\) có dạng \(M\left( a;\dfrac{4a-3}{a-3} \right)\) khi đó ta có:
\(\begin{align}d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| a-3 \right|;\,\,d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| \dfrac{4a-3}{a-3}-4 \right|=\dfrac{9}{\left| a-3 \right|} \\\Rightarrow d\left( M;{{d}_{2}} \right)+d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| a-3 \right|+\dfrac{9}{\left| a-3 \right|}\ge 2\sqrt{9}=3 \\\end{align}\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\dfrac{9}{\left| a-3 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}a=6 \\a=0 \\\end{align} \right.\)
\(\Rightarrow M\left( 6;7 \right),\,\,N\left( 0;1 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{{{6}^{2}}+{{6}^{2}}}=6\sqrt{2}\)
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
