Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho hình vuông $ABCD$ biết $M\left( {2;1} \right);N\left( {4;-2} \right);P\left( {2;0} \right);Q\left( {1;2} \right)$ lần lượt thuộc cạnh $AB,BC,CD,AD.$ Hãy lập phương trình cạnh $AB$ của hình vuông.
Phương pháp giải
- Gọi phương trình \(AB\) có véc tơ pháp tuyến \(\left( {a;b} \right)\) và đi qua \(M\)
- Suy ra phương trình \(BC\) theo \(a,b\) vừa gọi ở trên và \(BC\) đi qua \(N\)
- Do $ABCD$ là hình vuông nên $d\left( {P,AB} \right) = d\left( {Q,BC} \right)$, từ đó tìm \(a,b\)
Lời giải của Tự Học 365
Giả sử đường thẳng $AB$ qua $M$ và có VTPT là $\vec n = \left( {a;b} \right)\,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} e 0} \right)$
=> VTPT của $BC$ là: ${\vec n_1} = \left( { - b;a} \right)$.
Phương trình AB có dạng: $a\left( {x-2} \right) + b\left( {y-1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow ax + by-2a-b = 0$
BC có dạng: $-b\left( {x-4} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0\;$$ \Leftrightarrow -bx + ay + 4b + 2a = 0$
Do $ABCD$ là hình vuông nên $d\left( {P,AB} \right) = d\left( {Q,BC} \right)$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {3b + 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 2a\\b = - a\end{array} \right.$
$b = -2a:AB:\;x-2y = 0;\;CD:x-2y-2 = 0;$$BC:2x + y-6 = 0;AD:2x + y-4 = 0$
$b = -a:AB:-x + y + 1 = 0;BC:-x-y + 2 = 0;$$AD:-x-y + 3 = 0;CD:-x + y + 2 = 0$
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
