Cho hình lập phương \(ABCD.MNPQ\) cạnh bằng \(a.\) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((CNQ).\)
Phương pháp giải
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {CNQ} \right)\)
Đưa về tính khoảng cách từ điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\)
\(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_A} + b{y_A} + c{z_A}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Lời giải của Tự Học 365
Gắn hệ trục tọa độ với \(M \equiv O;\,MN \equiv Ox;\,MA \equiv Oy;\,MQ \equiv Oz\)
Coi hình lập phương cạnh bằng \(1.\) Khi đó ta có \(M\left( {0;0;0} \right);\,N\left( {1;0;0} \right);A\left( {0;1;0} \right);Q\left( {0;0;1} \right);C\left( {1;1;1} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {NC} = \left( {0;1;1} \right);\,\overrightarrow {NQ} = \left( { - 1;0;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {NC} ;\overrightarrow {NQ} } \right] = \left( {1; - 1;1} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( {CNQ} \right)\) đi qua \(C;N;Q\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {NC} ;\overrightarrow {NQ} } \right] = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm 1 VTPT.
Phương trình \(\left( {CNQ} \right):1\left( {x - 1} \right) - y + z = 0 \Leftrightarrow x - y + z - 1 = 0\)
Khoảng cách cần tìm là \(d\left( {A;\left( {CNQ} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 - 1 + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
