Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = 3a\), \(BC = 4a\), mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Biết \(SB = 2\sqrt 3 a\), \(\widehat {SBC} = 30^\circ \). Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Phương pháp giải
Sử dụng mối quan hệ tỉ lệ giữa các khoảng cách từ các điểm đến cùng một mặt phẳng tính khoảng cách.
Lời giải của Tự Học 365
Trong \(\left( {SBC} \right)\), kẻ \(SH \bot BC\) tại $H$. Ta có nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có \(\Delta SBH\) vuông tại \(H\) có \(SH = SB.\sin 30^\circ = a\sqrt 3 \); \(BH = SB.\cos 30^\circ = 3a\);
\(HC = BC - BH = a\).
Khi đó \(BH = 4HC\) nên \(d\left( {B,\,\left( {SAC} \right)} \right) = 4d\left( {H,\,\left( {SAC} \right)} \right)\)
Trong \(\left( {ABC} \right)\), kẻ \(HK \bot AC\); trong \(\left( {SHK} \right)\), kẻ \(HI \bot SK\).
Ta có \(SH \bot AC\) nên \(AC \bot \left( {SHK} \right)\) suy ra \(AC \bot HI\) hay \(HI = d\left( {H,\,\left( {SAC} \right)} \right)\).
nên \(\dfrac{{HK}}{{AB}} = \dfrac{{CH}}{{CA}}\)\( \Rightarrow HK = \dfrac{{CH.AB}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{3a}}{5}\).
Tam giác \(SHK\) vuông tại \(H\) có \(\dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{K^2}}}\)\( \Rightarrow HI = \dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \dfrac{{3\sqrt 7 a}}{{14}}\).
Vậy \(d\left( {B,\,\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{6\sqrt 7 a}}{7}\).
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
