Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $BC = a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $\widehat {SCA} = \widehat {BSC} = {30^0}$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $\left( {SAM} \right)$.
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Lời giải của Tự Học 365
Đặt $AB = x \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{x^2} + {a^2}} \Rightarrow $$SA = AC.\tan \widehat {SCA} = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{3}} .$
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại $B,$ có $SB = \dfrac{{BC}}{{\tan \widehat {BSC}}} = a\sqrt 3 .$
Tam giác $SAB$ vuông tại $A,$ có $S{A^2} + A{B^2} = S{B^2}$.
$ \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + {a^2}}}{3} + {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow 4{x^2} = 8{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 .$
Kẻ $DH \bot AM$, ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot DH\\AM \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {SAM} \right).$
\( \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAM} \right)} \right) = DH\)
Xét $\Delta AMD$ vuông tại $D$, có $\dfrac{1}{{D{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{M{D^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}.$
$ \Rightarrow DH = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAM} \right)} \right) = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.$
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
