Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $1$, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc ${60^0}$. Tính khoảng cách \(d\) từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Lời giải của Tự Học 365
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
$OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2},OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$
Xác định ${60^0}{\rm{ = }}\widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;OB} \right)} = \widehat {SBO}$ và
\(SO = OB.\tan \widehat {SBO} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), kẻ \(OK \bot SM\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OK\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK\).
Tam giác vuông $SOM,$ có \(OK = \dfrac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\)
Vậy \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK = \dfrac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\)
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
