Lời giải của Tự Học 365

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

Xác định

\({60^0} = \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} \)

\(= \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA}\)

và \(SA = AC.\tan \widehat {SCA} \) \(= \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} .\tan 60^0 \) \(= a\sqrt 2 .\sqrt 3  = a\sqrt 6. \)

Gọi $M$ là trung điểm $AB$, suy ra $ADCM$ là hình vuông nên $CM = AD = a.$

Xét tam giác $ACB$, ta có trung tuyến \(CM = a = \dfrac{1}{2}AB\) nên tam giác $ACB$ vuông tại $C.$

Lấy điểm $E$ sao cho $ACBE$ là hình chữ nhật, suy ra \(AC\parallel BE.\)

Do đó \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)

Kẻ \(AK \bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AE\\BE \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BE \bot AK\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBE} \right)\)  

Khi đó \(d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right) = AK = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }}.\)

Ta có: \(AE = BC = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2  \) \(\Rightarrow AK = \dfrac{{a\sqrt 6 .a\sqrt 2 }}{{\sqrt {6{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Đáp án cần chọn là: a