Tìm $a$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x e 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) có đạo hàm tại $x = 1.$
Phương pháp giải
+) Để hàm số có đạo hàm tại $x = 1$ thì hàm số phải liên tục tại $x = 1.$
+) Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
Lời giải của Tự Học 365
Để hàm số có đạo hàm của hàm số tại điểm $x = 1$ thì trước hết hàm số phải liên tục tại $x = 1,$ tức là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = a \) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = a \Leftrightarrow 2 = a\)
Khi đó hàm số có dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x e 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} - 2}}{{x - 1}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 1 - 2}}{{x - 1}} = 1\)
Vậy $a = 2.$
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
