Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} + 2x = y + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^y} + 2y = x + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:
Phương pháp giải
Thực hiện trừ vế cho vế của hai phương trình và xét hàm số.
Lời giải của Tự Học 365
Trừ vế theo vế (1) và (2) ta được: \({3^x} + 2x - {3^y} - 2y = y - x \Leftrightarrow {3^x} + 3x = {3^y} + 3y\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + 3t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 3 > 0, \forall t \in \mathbb{R}.\)
Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y.\)
Thay \(x = y\) vào (1) ta được: \({3^x} + x - 11 = 0 \left( {**} \right)\)
Xét hàm số \(g\left( m \right) = {3^m} + m\) trên \(\mathbb{R},\) ta có: $g'\left( m \right) = {3^m}\ln 3 + 3 > 0,\,\forall m \in \mathbb{R}.$
Vậy hàm số\(g\left( m \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Lại có: \(g\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow \left( {**} \right) \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right).\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
