Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn \({2^x} + {2^y} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất \({P_{\max }}\) của biểu thức\(P = (2{x^2} + y)(2{y^2} + x) + 9xy\).
Phương pháp giải
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để xét nghiệm của phương trình.
Lời giải của Tự Học 365
Ta có pt ${2^x} - 2 = 2 - {2^y}$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {2^x} - 2\\g\left( y \right) = 2 - {2^y}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 > 0\,\,\forall x\\g'\left( y \right) = - {2^y}\ln 2 < 0\,\,\forall x\end{array} \right.$.
Suy ra hàm số $f(x)$ luôn đồng biến với mọi $x$ và hàm số $g(y)$ luôn nghịch biến với mọi $y$.
$ \Rightarrow $ Phương trình có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\g\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$
$ \Rightarrow {P_{max}} \Leftrightarrow x = y = 1 \Rightarrow P = 18.$
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
