Tìm giá trị lớn nhất của \(a\) để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} - 2}}{{x - 2}}}&{{\rm{khi }}x > 2}\\{{a^2}x - \dfrac{7}{4}}&{{\rm{khi }}x \le 2}\end{array}} \right.$ liên tục tại \(x = 2.\)
Phương pháp giải
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Lời giải của Tự Học 365
Ta cần có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right).{\rm{ }}\left( * \right)\)
Ta có \(f\left( 2 \right) = 2{a^2} - \dfrac{7}{4}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{a^2}x - \dfrac{7}{4}} \right) = 2{a^2} - \dfrac{7}{4}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} - 2}}{{x - 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{3x + 2}} - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{3x + 2}} + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{3x + 2}} + 4} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{3x - 6}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{3x + 2}} + 4} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{3x + 2}} + 4}} = \dfrac{1}{4}\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow 2{a^2} - \dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 8{a^2} - 7 = 1\) \( \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1 \Rightarrow {a_{\max }} = 1\)
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
