Cho hình chóp $S.ABC $ có đáy là tam giác $ABC$ thỏa mãn $AB = AC = 4,$ \(\widehat {BAC} = {30^0}\) . Mặt phẳng $(P)$ song song với $(ABC)$ cắt đoạn $SA$ tại $M$ sao cho $SM = 2MA.$ Diện tích thiết diện của $(P)$ và hình chóp $S.ABC$ bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải
Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB và AC. Xác định mặt phẳng (P) và thiết diện của (P) với hình chóp là tam giác MNP.
Chứng minh thiết diện là tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k nào đó \( \Rightarrow \dfrac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{ABC}}}} = {k^2}\) .
Tính diện tích tam giác ABC từ đó suy ra diện tích tam giác MNP.
Lời giải của Tự Học 365
Trong (SAB) qua M kẻ MN // AB, trong (SAC) kẻ MP // AC. Khi đó ta có (MNP) // (ABC).
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( P \right)\).
Thiết diện của (P) và hình chóp là tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số \(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow {S_{MNP}} = \dfrac{4}{9}{S_{ABC}}\)
Ta có ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.4.4.\sin {30^0} = 4$
\( \Rightarrow {S_{MNP}} = \dfrac{4}{9}.4 = \dfrac{{16}}{9}\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
